波动方程的标准形式为：$frac{partial^{2}u}{partial t^{2}} = v^{2} frac{partial^{2}u}{partial x^{2}}$，其中$u(x,t)$是描述介质中某点$x$在时刻$t$的位移或扰动，$v$是波的传播速度。
波动方程的推导过程：
对$x'$关于$t$求导，根据链式法则$frac{dx'}{dt} = frac{dx'}{du} cdot frac{du}{dt}$。由于$x' = u$，所以$frac{dx'}{du} = 1$，而$frac{du}{dt} = frac{d(x - vt)}{dt} = -v$，因此$frac{dx'}{dt} = -v$。
对$frac{dx'}{dt}$再次关于$t$求导，$frac{d^{2}x'}{dt^{2}} = frac{d}{dt}(-v frac{dx'}{du})$。因为$-v$是常数，所以$frac{d^{2}x'}{dt^{2}} = -v frac{d}{dt}(frac{dx'}{du})$。
再根据链式法则$frac{d}{dt}(frac{dx'}{du}) = frac{d^{2}x'}{du^{2}} cdot frac{du}{dt}$，且$frac{du}{dt} = -v$，代入可得$frac{d^{2}x'}{dt^{2}} = v^{2} frac{d^{2}x'}{du^{2}}$。
由于$x' = x - vt$，且$frac{dx'}{dx} = frac{dx'}{du} cdot frac{du}{dx}$，$x' = u$，$frac{du}{dx} = 1$，所以$frac{dx'}{dx} = 1$，进而$frac{d^{2}x'}{dx^{2}} = frac{d^{2}x'}{du^{2}}$。
将$frac{d^{2}x'}{du^{2}} = frac{d^{2}x'}{dx^{2}}$代入$frac{d^{2}x'}{dt^{2}} = v^{2} frac{d^{2}x'}{du^{2}}$，得到$frac{d^{2}x'}{dt^{2}} = v^{2} frac{d^{2}x'}{dx^{2}}$。若令$u(x,t) = x'$，就得到了波动方程$frac{partial^{2}u}{partial t^{2}} = v^{2} frac{partial^{2}u}{partial x^{2}}$。
波动方程的解：
波函数部分：$Acosomega(t - frac{x}{v})$是典型的波函数形式。其中$A$是振幅，表示波的振动幅度；$omega$是角频率，与波的频率$f$的关系为$omega = 2pi f$；$t - frac{x}{v}$表示波从原点传播到$x$处所需的时间，$v$是波速。这部分描述了波在空间和时间上的周期性振动。
粒子运动方程部分：$(x - vt)$可以看作是一个随时间以速度$v$运动的粒子的位置函数。它描述了一个以恒定速度$v$沿$x$轴正方向运动的质点的轨迹。
分别验证：
对于波函数$u_{1}(x,t) = Acosomega(t - frac{x}{v})$，先求一阶偏导数：
$frac{partial u_{1}}{partial t} = -Aomegasinomega(t - frac{x}{v})$，$frac{partial^{2}u_{1}}{partial t^{2}} = -Aomega^{2}cosomega(t - frac{x}{v})$。
$frac{partial u_{1}}{partial x} = frac{Aomega}{v}sinomega(t - frac{x}{v})$，$frac{partial^{2}u_{1}}{partial x^{2}} = -frac{Aomega^{2}}{v^{2}}cosomega(t - frac{x}{v})$。
可以看到$frac{partial^{2}u_{1}}{partial t^{2}} = v^{2} frac{partial^{2}u_{1}}{partial x^{2}}$，所以波函数部分满足波动方程。
对于粒子运动方程$u_{2}(x,t) = x - vt$，求一阶偏导数：
$frac{partial u_{2}}{partial t} = -v$，$frac{partial^{2}u_{2}}{partial t^{2}} = 0$。
$frac{partial u_{2}}{partial x} = 1$，$frac{partial^{2}u_{2}}{partial x^{2}} = 0$。
显然$frac{partial^{2}u_{2}}{partial t^{2}} = v^{2} frac{partial^{2}u_{2}}{partial x^{2}}$（因为两边都为$0$），所以粒子运动方程部分也满足波动方程。
联合验证：设$u(x,t) = u_{1}(x,t) + u_{2}(x,t)$，根据线性微分方程的性质，若$u_{1}$和$u_{2}$分别满足波动方程，则它们的和$u$也满足波动方程。因为$frac{partial^{2}u}{partial t^{2}} = frac{partial^{2}u_{1}}{partial t^{2}} + frac{partial^{2}u_{2}}{partial t^{2}}$，$v^{2} frac{partial^{2}u}{partial x^{2}} = v^{2} (frac{partial^{2}u_{1}}{partial x^{2}} + frac{partial^{2}u_{2}}{partial x^{2}})$，且$frac{partial^{2}u_{1}}{partial t^{2}} = v^{2} frac{partial^{2}u_{1}}{partial x^{2}}$，$frac{partial^{2}u_{2}}{partial t^{2}} = v^{2} frac{partial^{2}u_{2}}{partial x^{2}}$，所以$frac{partial^{2}u}{partial t^{2}} = v^{2} frac{partial^{2}u}{partial x^{2}}$。
