感谢 @卢晶亮 学长的邀请。虽然题主指名道姓了要 @慧航 来回答这个问题，不过鉴于小弟粗略学过一点 program evaluation，所以也想尝试下班门弄斧。
首先澄清一下题目中的术语：
下面介绍一下匹配估计量。匹配主要分两种：截面数据匹配和双重差分匹配。截面数据匹配对于数据的要求比较简单，我们只需要项目介入后一个时间点的数据即可进行估计。双重差分匹配对于数据的要求更高，需要项目介入前后至少两个时间点的数据才能进行估计。匹配的核心思想是运用统计学技巧人为地构造出一个对照组，通过那些可观测特征（observable characteristics）试图为每个参与者（treated）“搭配”一个未参与者（untreated）。换句话说， 对于可观测的变量，通过匹配构造出的对照组（control group）与参与组（treatment group）拥有相同的随机分布。下面举两个例子说明一下匹配的过程：
例 1，精确匹配。考虑一个奖学金项目，我们想研究收到奖学金对大学生按时毕业的影响。奖学金的发放分为两步：
下图展示了精确匹配的过程，左右两张表格分别列出了最终收到了奖学金和没有收到奖学金的情况，每一行表示一个学生。可以看到有三对学生被精确匹配，即他们两两之间的可观测特征是完全一致的。
例 2，倾向评分匹配。从上图中可以看到，当我们采用精确匹配时，有些学生无法找到与自己相配的对象。我们不难想象，当用来匹配的条件不断增加时，几乎不会有人能够找到合适的匹配对象，这就是所谓“维度的诅咒”。因此，我们需要一种工具来降维，而这种工具就是倾向评分：。其中，表示一系列可观测特征，表示最终是否收到了奖学金（收到为，未收到为）。需要注意的是，当我们引入倾向评分时，我们还需要额外引入一条假设，即学生是否收到奖学金只与那些可观测特征有关，而独立于他们潜在地收到（或没有收到）奖学金后的按时毕业情况。由于倾向评分是连续的，我们通常会以区间为基准进行匹配，如，见下图：
有两点值得注意。第一，相比精确匹配，当我们使用倾向评分后参与者找到与之相对应的未参与者的可能性提高了，但是仍有一些参与者无法找到合适的匹配对象（倾向评分过高）。事实上，只有倾向评分位于共同支撑（common support）的个体才能找到匹配，见下图。第二，对于某些参与者，我们有多个相配的倾向评分，此时可以选择倾向评分最接近的未参与者作为匹配对象。
在进行估计之前，我们先明确定义一下潜在结果：
注意，对于任何一个学生，不管最终有没有收到奖学金，他/她都有和。例如，对于某个奖学金获得者，我们最终观察到了他/她的；但是如果他/她没有收到奖学金，我们则会观察到（可以想象存在这样一个平行宇宙）。现在我们可以写出参与者的平均参与效应（average treatment effect on the treated, ATT）：
其中第二个期望可以用匹配得到的对照组来估计。
接下来介绍一下双重差分。
例 3，截面估计量。考虑一个给农民发放贷款的项目，农民可以用得到的贷款来购买肥料从而增加他们种植的作物产量。假设我们只观察到了项目开始一年以后的数据：收到贷款的农民平均每公顷收获 1,100 公斤作物，没有收到贷款的农民平均每公顷收获 1,000 公斤作物。此时截面估计量为两者之差：公斤/公顷。
截面估计量假设了收到贷款的农民与没有收到贷款的农民拥有相同的生产率。但是如果（1）生产率更高的农民更容易获得贷款（他们的偿还能力更强）；或（2）拥有更贫瘠土地的农民更有可能申请贷款（他们需要更多肥料来弥补土地的不足），那么这一假设就很容易被打破。
例 4，前－后估计量。考虑同样的项目，收到贷款的农民在项目开始前平均每公顷收获 1,000 公斤作物，项目开始后一年，每公顷平均收成增长到了 1,200 公斤。此时前－后估计量为两者之差：公斤/公顷。前－后估计量存在的一个问题是，那些与项目本身无关的前－后改变也可能会被错误地包含进估计值之中。
例 5，双重差分估计量。为了解决上述问题，我们可以构造一个新的估计量，这个估计量控制了个体的特征，并且通过比较参与者（对照组）与未参与者（实验组）在项目实施前与实施后相应的结果改变，从而试图衡量项目的参与效应。下图便展示了一个最基本的两期 DID 原理：
现在我们应用前文中讲到的 和 的定义，并假设对于个体 ，其特征 与潜在结果之间存在下面的关系：
我们可以把 的参与者的参与效应写出来：
令 和 分别表示项目实施前和实施后两个时点。对于对照组个体 ，其经历的结果改变为：
对于实验组，这个改变则为：
把两者合并，我们可以得到：
其中， 表示 是否参与了项目， 则是包含了参与者与未参与者的前－后估计量的误差项。如果我们假设不存在参与者的选择偏误（participants' self-selection bias），那么就可以用线性回归来估计上面的式子，从而得到参与者的平均参与效应。
另外针对题主的问题，这里的两期 DID 模型假定了对照组趋势项和实验组趋势项之间是平行的，但 DID 的灵活之处在于，如果有三期的数据，这个假定是可以放松的。此外，三期 DID 也可以估计随时间改变的项目参与效应。
未完待续。
参考文献：
