首先哈并不是在134页
首先来总结一下实变这种什么依测度收敛几乎处处收敛，L1收敛这些乱七八糟的收敛。只需要这么想就能理清楚他们之间的关系。要知道实变第一章就学的集合，要的就是把各种相等，不等关系能够用集合的语言来描述，然后通过交并技术，把相等不等的层次展现出来。各种收敛就是在集合表示后，不同层次不同方式的相等。比如几乎处处收敛字面意思上就是不等的概率是0，但是这么理解没用，要把集合当成积分区间，然后测度当成集合上的积分，就像下面这个文章说的一样，这么一想，不同收敛的层次和关系就出来了。
首先几乎处处相等是实变中描述两个函数相等的语言，就是说两个函数在积分的意义下或者另 范数的意义下相等， 而不是数分中绝对值范数意义下相等，或者说在一个集合E上处处相等，补集上不等，但是这个集合测度是0，一般用就是这么用的。
依测度收敛 和几乎处处收敛的关系主要是几乎处处收敛关注的是哪些点相等哪些点不等，依测度收敛并不是，只能说坏点的测度趋于0，并不管点集的位置如何。还有 收敛 就是做差积分趋于0。当然其实各种连续各种收敛都是玩不等式放缩的时候条件而已。比如依测度收敛的玩法经常就是把函数的坏点写出来，然后用集合语言翻译出不相等的层次，依测度收敛就能得到总的集合的测度趋于0，结合单调集合类和测度非负的性质，就可进一步得到某些坏点集合的性质，经典的egory定理就是这么来的。然后用积分和集合表示这种相等或者收敛，我们也很方便通过简单的区间分段，积分放缩得到不同收敛之间的蕴含关系。
设 是有限测度空间， 是复值可测函数，且 几乎处处收敛于 ，则 几乎一致收敛于 。
设 ，我们只须构造可测集 ，使得 ；对任意 ，存在 ，使得对任意 和 ，
设 ，则
根据题设，。因为里面并的集合显然是单调类嘛，而且n越大并的越少然后交集交出来就是最小的集合就有
对任意 ，存在 ，使得 ，这里展示出坏集合的层次。
设
则 。
设 ，。若 ，，则
此即得证。
然后来证明那两个推论。
因为 ，可以选到一个可测子集 使 。（在 上就是取 并让 足够大即可。）
在这个有限测度集 上， 仍然 a.e. 成立，因此可以直接对 应用有限测度的 Egorov 定理对任意 ，存在 使
取 ，令
则
并且 在 上一致收敛。
证毕。
设 可测（允许 ）， 为 上可测函数，且
则存在可测集列 ，满足
；
；
对每个固定的 ， 在 上一致收敛。
先把 分解成有限测度块。 令
则每个 可测且 ，并且
然后在每个 上做 Egorov，把误差安排成可求和。 对每个 ，在有限测度集 上有 a.e.。由 Egorov 定理对任意 ，存在可测集 ，使得
现在对每个 取 ，得到可测集 ，满足
把这些好集串起来，做成递增的 。 定义
显然 。并且因为 是有限个集合的并，而 在每个 上一致收敛，所以它在 上也一致收敛（把每个 的一致收敛起始指标取最大即可）。
证明这些 覆盖 到零测缺口。 注意对任意
因此对每个 ,
从而
现在看缺口
次可加性
还要的是它等于 0。这里用到一个更强的观察对任意固定的 ，当 时 ，所以
因此
让 ，右边趋于 0，于是对每个 都有该测度可以任意小，只能是 0。更形式化地说若
则 对每个足够大的 不一定成立，但 ，从而
又因为 ，可得
即
综上， 满足三条要求，证毕。
实际上前面控制收敛的文章用到了egorv定理，虽然控制收敛的时候对不一定有限的测度进行了更多操作，但是如果测度有限，就可以少很多麻烦，从中很容易即可发现
假设 是有限测度空间, 是复值可测函数, 且 几乎处处收敛于 . 进一步假设存在 , 使得对任意 和 , . 设 , 则由叶戈罗夫定理, 存在可测集 , 使得 , 在 上一致收敛于 , 故存在 , 使得对任意 和 , . 任取 , 则
因此 在 中收敛于 . 特别地,
此即得证.
因为一致收敛当然有依测度收敛，然后几乎处处收敛大部分时候一致收敛，然后就有了关系
设 是有限测度空间, 是复值可测函数, 且 几乎处处收敛于 , 则 依测度收敛于 .
设 , 则由叶戈罗夫定理, 存在可测集 , 使得 , 在 上一致收敛于 . 因此对 , 存在 , 使得对任意的 , 有
由依测度收敛的一个充要条件可知 依测度收敛于 .
设 是有限测度空间, 是复值可测函数, 则 依测度收敛于 当且仅当对任意子列 , 存在一个几乎处处收敛于 的 的子列.
设 依测度收敛于 , 是某个子列, 则显然 也依测度收敛于 . 由依测度收敛的性质可知, 存在一个 的子列, 使其几乎处处收敛于 .
反证法. 假设 不依测度收敛于 , 即 用数学分析, 我们知道存在一个 , 和一个子列 , 使得对任意 , 假设 有一个几乎处处收敛于 的子列, 则根据上述命题可知这个子列依测度收敛于 , 然而这和 相矛盾.
若 是测度空间, 是复值可测函数, 且 几乎一致收敛于 , 则 几乎处处收敛于 .
任取 , 则存在可测集 , 使得 , 在 上一致收敛于 . 特别地, 在 上逐点收敛于 .
令 , 则 . 任取 , 则存在 , 使得 , 于是 收敛于 . 特别地, 这表明 几乎处处收敛于 .
几乎一致收敛蕴含依测度收敛. 换言之, 若 是测度空间, 是复值可测函数, 且 几乎一致收敛于 , 则 依测度收敛于 .
证明 设 , 则存在可测集 , 使得 , 在 上一致收敛于 . 对于 , 存在 , 使得对任意 和 , .
于是
由依测度收敛的充要条件可知 依测度收敛于 .
测度空间中依测度收敛的充要条件 设 是测度空间, 是复值可测函数, 且 依测度收敛于 当且仅当对任意子列 , 存在一个几乎一致收敛于 的 的子列.
有限测度空间中依测度收敛的充要条件.
叶戈罗夫定理可知, 在有限测度空间中, 几乎一致收敛等价于几乎处处收敛, 因此有限测度空间中依测度收敛的充要条件是任意子列存在一个几乎处处收敛的子列.
maki的实分析讲义
